Coeficiente de restitución

Física en el juego 
del baloncesto

Prescindiendo del tablero

Efecto del tablero.

Coeficiente de restitución

Dispersión del balón 
por el aro

Cinemática

Movimiento bajo la 
aceleración constante
de la gravedad

Oscilaciones

Oscilaciones libres
y amortiguadas

Sucesivos rebotes de un balón

Un modelo para el coeficiente de restitución.

En este apartado se describe el impacto del balón sobre una pared rígida mediante un modelo mecánico simple.

Cuando el balón elástico impacta sobre una pared rígida, supondremos que sobre el c.m. del balón actúan dos fuerzas :

• Una fuerza elástica proporcional al desplazamiento del c.m. de módulo kx, que tiende a restaurar al c.m. a su posición de equilibrio.
  
• Una fuerza de rozamiento viscosa lv, proporcional a la velocidad del c.m. y que da cuenta de la pérdida de energía del balón durante el impacto.

La ecuación del movimiento del c.m., es

o bien    

Esta es la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, donde w₀²=k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y g =l/(2m) es la constante de amortiguamiento.

Existen tres posibles soluciones de la ecuación diferencial, de acuerdo con las raíces de la ecuación característica.

Oscilaciones amortiguadas (g<w₀)

Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A y de la fase inicial f. En nuestro caso son: t=0, x=0, y v=v₀.

Esta ecuación nos da la posición del c.m. del balón deformado en función del tiempo.

La figura nos muestra la representación gráfica de dicha función. Después de haber completado un semiperiodo de oscilación P/2=p/w, (línea sólida de color azul) el c.m. del balón se aleja de la pared con una velocidad v dada por

Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v₀ justamente antes del choque con la pared.

Podemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilación amortiguada y la constante de amortiguamiento.

Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, g=0, no hay rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no hay pérdidas de energía, el choque es perfectamente elástico, y e=1.

Oscilación crítica (g=w₀)

La solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas: t=0, x=0, v=v₀. se transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.

Oscilación sobreamortiguada (g>w₀)

La solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas se transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.

Actividades

1. Fijaremos la frecuencia propia w₀ en el valor 100, permitiéndonos variar, la constante de amortiguamiento g en el intervalo de 0 (choques elásticos) a 150.
2. En primer lugar, examinaremos los choques que dan lugar a rebote (oscilaciones amortiguadas).
3. Introduzcamos la constante de amortiguamiento (menor que 100, del orden de 10).
4. Introducir la velocidad inicial (entre 1 y 10).
5. Anotar el valor de la velocidad final después del rebote.
6. Ensayar cambiando la velocidad inicial pero sin modificar la constante de amortiguamiento.
7. Observar la deformación del balón en el caso que corresponde a oscilación crítica (g=100),
8. y otro que corresponda a una oscilación sobreamortiguada (g>100).

Sucesivos rebotes de un balón

Podemos observar los sucesivos rebotes del balón sobre un suelo rígido horizontal. Como ya se explicó en el efecto del tablero sobre los tiros a canasta, la componente horizontal de la velocidad no se modifica, la componente vertical de la velocidad disminuye tras cada choque del balón con el suelo rígido horizontal.

Actividades

1. Determinar la ley de la variación de la altura máxima del balón con el coeficiente de restitución. En la parte superior derecha de la ventana, se proporciona el dato de la altura de la pelota en cada instante t (en la parte izquierda).

2. Para cada coeficiente de restitución que introducimos, medir el tiempo que tarda el balón en dejar de rebotar, es decir, que su altura sea casi cero.